题号:1067    题型:单选题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 连续,则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x} t f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=(\quad)$
$A.$ $x f\left(x^{2}\right)$. $B.$ $-x f\left(x^{2}\right)$. $C.$ $2 x f\left(x^{2}\right)$. $D.$ $-2 x f\left(x^{2}\right)$.
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答案:
A

解析:

为变限所定义的函数求导数, 作积分变量代换 $u=x^{2}-t^{2}$,
$$
t: 0 \rightarrow x \Rightarrow u: x^{2} \rightarrow 0, d u=d\left(x^{2}-t^{2}\right)=-2 t d t \Rightarrow d t=-\frac{1}{2 t} d u
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}-t^{2}\right) d t & \underline{u=x^{2}-t^{2}} \int_{x^{2}}^{0} t f(u)\left(-\frac{1}{2 t}\right) d t \\
&=\int_{x^{2}}^{0}-\frac{1}{2} f(u) d u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x^{2}} f(u) d u \\
\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f\left(x^{2}-t^{2}\right) d t &=\frac{1}{2} \frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} f(u) d u \\
&=\frac{1}{2} f\left(x^{2}\right) \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} f\left(x^{2}\right) \cdot 2 x=x f\left(x^{2}\right)
\end{aligned}
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