题号:1066    题型:填空题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0, x=1, x=\mathrm{e}^{2}$ 所围成, 二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布, 则 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为
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答案:
$\frac{1}{4}$

解析:

【解析】首先求 $(X, Y)$ 的联合概率密度 $f(x, y)$.
$$
D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq e^{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{x}\right\},
$$
区域 $D$ 的面积为 $S_{D}=\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_{1} ^{e^{2}}=2$.
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
其次求关于 $X$ 的边缘概率密度.
当 $x < 1$ 或 $x > e^{2}$ 时, $f_{X}(x)=0$;
当 $1 \leq x \leq e^{2}$ 时, $f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{2} d y=\frac{1}{2 x}$. 故 $f_{X}(2)=\frac{1}{4}$.

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