题号:1062    题型:填空题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=$
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答案:
$-\frac{1}{4}$

解析:

方法1: 用四则运算将分子化简, 再用等价无穷小替换,
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)} \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2\left(\sqrt{1-x^{2}}-1\right)}{4 x^{2}} \\
&=\sqrt{1-x^{2}}-1-\frac{1}{2} x^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}}{2 x^{2}}=-\frac{1}{4} .
\end{aligned}
$$

方法2: 采用洛必达法则.

\begin{aligned}
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4 x \sqrt{1-x^{2}}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4 x} \text { 洛 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}-\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}}{4} \\
&=\frac{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}-\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}\right)}{4}=-\frac{1}{4} .
\end{aligned}

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