设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $S_n=\frac{a_n^2+a_n}{2}$.
(I)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(II)若不等式 $\frac{1}{3 S_1}+\frac{1}{4 S_2}+\cdots+\frac{1}{(n+2) S_n}>\frac{1}{2}-\frac{\lambda}{S_n}$ 对任意正整数 $n$ 均成立, 求 $\lambda$ 的取值范围.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$