题号:1011    题型:填空题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下:累计负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛 的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束.经抽签, 甲、
乙首先比赛, 丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$,
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3) 求丙最终获胜的概率.
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答案:
(1) $\frac{1}{16}$;
(2) $\frac{3}{4}$;
(3) $\frac{7}{16}$.

【分析】
(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件 “甲连胜四场” 的概率;
(2)计算出四局以内结束比赛的概率, 然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;
(3) 列举出甲贏的基本事件, 结合独立事件的概率乘法公式计算出甲贏的概率, 由对称性可知乙嬴的概 率和甲赢的概率相等, 再利用对立事件的概率可求得丙贏的概率.
【详解】(1) 记事件 $M$ :甲连胜四场, 则 $P(M)=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$;
(2) 记事件 $A$ 为甲输, 事件 $B$ 为乙输, 事件 $C$ 为丙输,
则四局内结束比赛的概率为
$$
P^{\prime}=P(A B A B)+P(A C A C)+P(B C B C)+P(B A B A)=4 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}
$$
所以, 需要进行第五场比赛的概率为 $P=1-P^{\prime}=\frac{3}{4}$;
(3) 记事件 $A$ 为甲输, 事件 $B$ 为乙输, 事件 $C$ 为丙输,

记事件 $M$ :甲赢, 记事件 $N:$ 丙韻,
则甲贏的基本事件包括: $B C B C 、 A B C B C 、 A C B C B$ 、
$B A B C C 、 B A C B C 、 B C A C B 、 B C A B C 、 B C B A C$,
所以, 甲蠃的概率为 $P(M)=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+7 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{9}{32}$.
由对称性可知, 乙嬴的概率和甲贏的概率相等,
所以丙贏的概率为 $P(N)=1-2 \times \frac{9}{32}=\frac{7}{16}$.
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