题号:1002    题型:单选题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点, $\odot O_{1}$ 为 $\square A B C$ 的外接圆, 若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4 \pi$,
$A B=B C=A C=O O_{1}$, 则球 $O$ 的表面积为 ( )
$A.$ $64 \pi$ $B.$ $48 \pi$ $C.$ $36 \pi$ $D.$ $32 \pi$
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答案:
A

解析:

由已知可得等边 $\square A B C$ 的外接圆半径, 进而求出其边长, 得出 $O O_{1}$
的值, 根据球截面性质, 求出球的半径, 即可得出结论.
【详解】设圆 $O_{1}$ 半径为 $r$, 球的半径为 $R$, 依题意,
得 $\pi r^{2}=4 \pi, \therefore r=2$,
由正弦定理可得 $A B=2 r \sin 60^{\circ}=2 \sqrt{3}$,
$\therefore O O_{1}=A B=2 \sqrt{3}$, 根据圆截面性质 $O O_{1} \perp$ 平面 $A B C$,
$\therefore O O_{1} \perp O_{1} A, R=O A=\sqrt{O O_{1}^{2}+O_{1} A^{2}}=\sqrt{O O_{1}^{2}+r^{2}}=4$,
$\therefore$ 球 $O$ 的表面积 $S=4 \pi R^{2}=64 \pi$.
故选: A
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