题号:1000    题型:单选题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为
$A.$ 5 $B.$ 10 $C.$ 15 $D.$ 20
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
C

解析:

求得 $(x+y)^{5}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \quad(r \in N$ 且 $r \leq 5)$, 即可求得 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)$ 与 $(x+y)^{5}$
展开式的乘积为 $C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 形式, 对 $r$ 分别赋值为 3,1 即可求得 $x^{3} y^{3}$ 的系数, 问题得解.
$(x+y)^{5}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \quad(r \in N$ 且 $r \leq 5)$
所以 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)$ 与 $(x+y)^{5}$ 展开式的乘积可表示为:
$x T_{r+1}=x C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=\frac{y^{2}}{x} C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$
在 $x T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 中, 令 $r=3$, 可得: $x T_{4}=C_{5}^{3} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 10 ,
在 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 中, 令 $r=1$, 可得: $\frac{y^{2}}{x} T_{2}=C_{5}^{1} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 5
所以 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $10+5=15$
故选: C
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭