单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 $A$
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
函数 $y=\frac{1}{x+2}$ 的垂直渐近线方程是
$\text{A.}$ $x=-2$
$\text{B.}$ $y=0$
$\text{C.}$ $y=-2$
$\text{D.}$ $x=0$
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(x)=x^3+1$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x^4+x$
$\text{C.}$ $x^3$
$\text{D.}$ $3 x^2+C$ $C$ 为常数
当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\sin x$ 是 $x^2$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小。
$\text{B.}$ 高阶无穷小。
$\text{C.}$ 等价无穷小。
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小。
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $f(x)$ 是 $x$ 的等价无穷小。
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小。
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小．
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在．
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^h\right)$ 存在．
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在．
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在．
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
$\text{B.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=p x^2+q x+r \quad(p, q, r$ 是常数，且 $p \neq 0)$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上满足拉格朗日中值公式的 $\xi=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
若 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
已知 $y=x^m,\left.y^{\prime}\right|_{x=2}=4$ ，则 $m=$
函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
根据函数极限定义证明 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4$
$\int \arctan \sqrt{x} d x$ ．
求函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}, g(x)=\frac{1-a^{\frac{1}{x}}}{1+a^{\frac{1}{x}}}(a>1)$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明 $x \rightarrow 0$ 时极限是否存在．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right), n=1,2, \ldots$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在．
证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)>0, f(b) < 0$ ，则在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
证明：数列 $x_n=(-1)^n \cdot \frac{n+1}{n}$ 是发散的．