解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分: $\int \frac{(1-x)^3}{x^2} d x$ 。
计算不定积分: $\int x^3 \sqrt{x^4+5} d x$ 。
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x>1\end{cases}
$$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导, $a, b$ 应取什么值?
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})$.
求 $a, b$ 使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+2 x+3 & x \leq 0 \\ a x+b & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续可导
$\int \frac{e^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$
设 $y=e^{\arctan \sqrt{x}}$ ，求 $d y$
证明当 $a>b>0$ 时，$\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$