单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
若 $f(x)=\frac{e^x-a}{x(x-1)}, x=0$ 为无穷间断点，$x=1$ 为可去间断点，则 $a=$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-1}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小函数中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小？
$\text{A.}$ $\ln (1+x)-x$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-1-x$
$\text{C.}$ $\sin x-x$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-1-x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos x^2}{x^2}, x>0, \\ g(x) \sin x^2, x \leq 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 为有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限存在但不连续
$\text{B.}$ 连续但不可导
$\text{C.}$ 可导但导数不为零
$\text{D.}$ 导数为零
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=x \sin x$, 则 $f^{(6)}(0)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\qquad$ ．
已知 $y=f\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(1-x^2\right)$ ，则 $\left.d y\right|_{x=0}=$
若 $f(x)=\mathrm{e}^{2012 x} x(x+1)(x+2) \cdots(x+2012)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_0^x e^{-t^2} d t}{x^2 \arctan x}$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos 2 x}}{\sin \sin x^2}=$
曲线 $y=\frac{x}{x-1}+\ln \left(2+3 \mathrm{e}^x\right)$ 的斜渐近线方程
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\int_{x^2}^1 e^{-t^2} d t$ ，计算定积分 $\int_0^1 x f(x) d x$ ．
设曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1-x^2$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，过原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=x^2$ 围成平面图形 $D$ ．求：
（1）$D$ 的面积 $S$ ；（2）$D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
设 $f(x)=\int_0^x \sin (x-t) e^{-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sqrt{1+t^2} \sin t d t}{x^4}$
过坐标原点作曲线 ${y}=\ln {x}$的切线，该切线与曲线 ${y}=\ln {x}$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D ．
（1）求 D 的面积 A ；（2）求 D 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $a \ln b-b \ln a=\left(a b^2-b a^2\right) \frac{1-\ln \xi}{\xi^2}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=1$ ，试证：
（1）存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $|f(\xi)| \geq 4$ ；
（2）若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，则存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4$ ．