填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n \sqrt{n+\frac{1}{k}}}=$
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 是常数, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{e^x-1}=3$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\sin x+\ln (1+x)}{x \sin ^2 x}$ 。
已知函数 $f(x)$ 有任意阶导数，满足 $f^{\prime \prime}(x)-2 f(x)=x^{2021} \cos x$ ，其中 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=$ 0 ，则 $f^{(2023)}(0)=$
设 $\alpha_1=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1$ ．当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
设 $x \rightarrow 0$ 时， ${e}^{\tan x}-{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n=$
设 $a \neq \frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^2}-1}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right) \cdot(1-\cos x) \cdot \arctan x}{\ln \left(1+x^2\right) \cdot\left(\sqrt{1+2 x^2}-1\right)}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos 2 x}}{\sin \sin x^2}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$