单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) d t}{1-\cos x^2}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列命题中正确的是（）
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$
则在原点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)(\quad)$.
$\text{A.}$ 偏导数不存在;
$\text{B.}$ 不可微;
$\text{C.}$ 偏导数存在且连续;
$\text{D.}$ 可微 。
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设 $f(x, y)=a x^2+2 a x y+y^2$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值，则 $a$ 的取值范围是 $\square$ ．
$\text{A.}$ $[0,1]$
$\text{B.}$ $[0,1)$
$\text{C.}$ $(0,1]$
$\text{D.}$ $(0,1)$
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为 0 ；
$\text{B.}$ 一个一元函数如果存在原函数则一定连续；
$\text{C.}$ 一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；
$\text{D.}$ 一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微；
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 条件收敛
设曲面 $\sum$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ ，区域 $\Omega$ 是由 $x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域，下列计算正确的是
（1） $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z=\iiint_{\Omega} d x d y d z$ ；
（2） $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) d S=\iint_{\Sigma} d S$ ．
$\text{A.}$ （1）对
$\text{B.}$ （2）对
$\text{C.}$ （1）（2）都对
$\text{D.}$ （1）（2）都错
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
求函数 $u=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 ${ }_{M(1,2,-2)}$ 处的梯度 $\left.g r a d u\right|_M$ ．
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1\}$ ，计算 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} d \sigma=$
设 $f(x)=\frac{1+x e ^x}{1+x}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
有一容器, 其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x>0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成, 容器底部 (原点处) 开有一小孔. 已知液体从容器底部流出的速率 $v=k \sqrt{2 g h}$ (单位: $m / s$ ), 其中 $g$ 为重力加速度 (单位: $m / s ^2$ ), $h$ 为小孔上方的液面高度 (单位: m ), $k$ 为大于 0 的常数. 若液面高度以 $l m / s$ 的速率匀速下降, 则 $y(x)=$
设 $L$ 为曲线 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长为 $a$ ，计算曲线积分 $\int_L\left(3 x^2+4 y^2+2 x y\right) d s$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程．
求解微分方程：$\left(2 x \sin y+3 x^2 y\right) d x+\left(x^3+x^2 \cos y+y^2\right) d y=0$（数一）．
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z=f\left( e ^x \cos y\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\left(4 z+ e ^x \cos y\right) e ^{2 x}$ ，若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数。
若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且单调增加，证明:
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
计算曲面积分 $I=\iint_S\left(x^3+z^2\right) d y d z+\left(y^3+x^2\right) d z d x+\left(z^3+y^2\right) d x d y$, 其中 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 上侧为正.