单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{6}$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取到
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取到
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取到，最小值在 $D$ 的边界上取到
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取到，最大值在 $D$ 的边界上取到
填空题 （共 16 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{x^2}-1}{x \ln (1+2 x)}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\sin ^3 x}$
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x}{x+1}\right)^{\frac{6 x}{x-1}}$
$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$
求 $I=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{\ln (1+x)-a}\left( e ^x-b\right)=2$ ，则 $a=$ $\qquad$ ，$b=$ $\qquad$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n$ 为正整数，$\lambda>0)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+b x^2, x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是
求函数 $f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 的间断点，并确定其类型．
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}=$ $\qquad$ ．
设 $z=f\left( e ^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 有二阶连续偏导数，求 d 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论其在点 $(0,0)$ 处的连续性，偏导的存在性及可微性．
求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^2-y^2$ 的极值．
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ 单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_{(1,2,3)}=$ $\qquad$ ．
求函数 $u=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 ${ }_{M(1,2,-2)}$ 处的梯度 $\left.g r a d u\right|_M$ ．
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
求极限 求 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)(\infty .0)$ ；
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(2 x-\pi)\left(\tan ^2 x+1\right) \quad(0 \cdot \infty)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left( e ^x-1\right)^{\ln (1+\tan x)}$
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{\frac{1}{x}}\left(\infty^0\right)$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n, a, b>0$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $s_n=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$ ，当 $|x| < 1$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} \sin \frac{1}{n}$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}},(p \geqslant 1)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{3^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{3^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\frac{n+3}{n^2+9}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2}\right)$ ．
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i j}{n^4}$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$;
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 n)} $
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x}$