一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点
$\text{A.}$ $(0,0)$
$\text{B.}$ $(0,3)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(1,1)$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2+z^2=\int_x^y f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定的二元隐函数, 其中 $f$ 是连续函数, 则 $2 z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)-f(y)+2(x-y)$.
$\text{B.}$ $f(y)-f(x)-2(x+y)$.
$\text{C.}$ $f(x)-f(y)+2(x+y)$.
$\text{D.}$ $f(y)-f(x)-2(x-y)$.
二、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上具有连续导数，
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明：
（I）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
（I）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+\mathrm{e}^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$确定，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.
设 $x_n=\underbrace{\sin \sin \cdots \sin x}_{n \cdot}, x \in(-\infty,+\infty)$, 求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是导数连续的函数, $f(0)=0,\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$, 试证明：
$$
|f(x)| \leqslant e^x-1, x \in[0,+\infty)
$$
证明: $\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right) \leqslant e^{x+y-2}$ 对任意 $x \geq 0, y \geq 0$ 成立.
已知 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$, 则
(I) 求 $k=\iint_D|x y-1| d x d y$ ；
(II) 根据（I）中所求 $k$, 设 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续, 且 $\iint_D f(x, y) d x d y=0$, $\iint_D x y f(x, y) d x d y=1$. 试证明存在 $(\xi, \eta) \in D$ 使得 $|f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{1}{k}$.
设 $f(x)=\left(x^2-3 x+2\right)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$, 求 $f^{(n)}(2)$.
分析函数 $y=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+1}}$ 的性态, 并作 $y=f(x)$ 的简图,
设常数 $T>0$, 函数 $f(x)$ 在 $R$ 上连续, 且 $f(x) \cos x$ 和 $f(x) \sin x$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数。
(1) 证明: $f(x)$ 是周期函数;
(2) 若 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导, 且存在常数 $M>0$, 使得 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ 对于 $\forall x \in R$ 成立, 证明: $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M T$.