一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$, 其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 则二次型的正惯性指数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义， $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x) \neq 0 ， \varphi(x)$ 有间断点，则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点
二、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+3 x_3{ }^2-4 x_1 x_2+2 x_1 x_3-8 x_2 x_3$, 则二次型 $f$ 的矩阵是
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1{ }^2+a x_2{ }^2+a x_3{ }^2$
$+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 用正交替换 $X=T Y$ 化为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=b{y_2}^2+c y_3{ }^2,(b, c \neq 0) .
$$
求 $a, b, c$ 并写出正交替换及所化成的标准二次型.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$, 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$.
(1) 求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵;
(2) 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$, 其中 $|\boldsymbol{A}|>0$, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+12 \boldsymbol{E}$, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{\Lambda}$.