一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列数列中哪个是收敛数列
$\text{A.}$ $x_n=\sin n$
$\text{B.}$ $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
$\text{C.}$ $x_n=n-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $x_n=(-1)^n+ \sin n$
关于无穷小量, 哪一个是正确的
$\text{A.}$ 无穷小量是以零为极限的函数
$\text{B.}$ 无穷小量就是数 0
$\text{C.}$ 无穷小量就是一个很小的数
$\text{D.}$ 0 不是无穷小
下列极限正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 x}{x}=1$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-2$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 第二类间断点
“函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导” 是 “函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续” 的
$\text{A.}$ 充分且必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
设 $y=e^{\sin x}$, 则微分 $\mathrm{d} y= $
$\text{A.}$ $e^{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $e^{\sin x} d \sin x$
$\text{C.}$ $e^{\sin x}$
$\text{D.}$ $e^{\sin x} \cos x$
二、填空题 （共 19 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $\boldsymbol{a b} \neq 0$, 证明: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\boldsymbol{a}\right)-f\left(x_0-b \boldsymbol{h}\right)}{\boldsymbol{h}}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
设 $x+\cos 2 x$ 为 $f(x)$ 的原函数, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$ ________ , $f^{(2015)}(0)=$ ________
设 $f(x)=\int_{-1}^x \dfrac{t^2+t}{t^6+1} \mathrm{~d} t$, 则 $f(1)=$ ________ , $f^{\prime}(1)=$ ________
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{1}{\sin x}}$;
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
已知 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^2}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right)$ 。
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
若 $f(x)$ 可导, $y=f\left(e^x\right)$, 则 $d y=$
函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2 \sin x}{1+x^2}\right) d x=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
确定常数 $b$, 使得直线 $y=9 x+b$ 为曲线 $y=x^3-3 x$ 的切线;
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
求函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 的单调区间和极值;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x,\end{array}\right.$ 求 $\int_2^4 f(x-2) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$;
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$, 求 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$.