一、判断题 （共 5 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则 $A$ 为半正定矩阵的充要必要条件是 $A$ 的所有主子式都不小于零.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A(\lambda), B(\lambda)$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $A(\lambda), B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为 $A(\lambda), B(\lambda)$ 有相同的初等因子组.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为
设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
设 $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵, 证明:
(1) $n$ 元二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
A & X \\
X^T & 0
\end{array}\right|
$$
是负定的, 其中 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$;
(2) $|A| \leq a_{n n} \Delta_{n-1}$, 其中
$$
\Delta_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
$$
为 $A$ 的 $n-1$ 级顺序主子式.
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1{ }^2+a x_2{ }^2+a x_3{ }^2$
$+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 用正交替换 $X=T Y$ 化为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=b{y_2}^2+c y_3{ }^2,(b, c \neq 0) .
$$
求 $a, b, c$ 并写出正交替换及所化成的标准二次型.