一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为单位向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=0, \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$, 则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2-y_2^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $\boldsymbol{M}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_2=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_3=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$, $\boldsymbol{M}_4=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2, \boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4$ 中不能与对角阵相似的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{M}_1$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{M}_2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{M}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{M}_4$
设 $\boldsymbol{A}_i,(i=1,2)$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$.
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A x}$ 的正惯性指数为
三、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.