一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若复数 $z$ 满足 $(3-4 i) z=1$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{25}$
已知集合 $A=|(x, y)| x^2+y^2 \leqslant 2, x \in \mathbf{N}, y \in \mathbf{N} \mid$, 则 $A$ 中元素的个数为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 8
若 $z(1+i)=2 i$, 则 $z$ 的共轭复数的虚部是
$\text{A.}$ 1-i
$\text{B.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ -1
已知复数 $z$ 在复平面内的对应点为 $(1,1)$, 则 $z+\frac{1}{z}$ 的虚部为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} \mathrm{i}$
已知复数 $z$ 满足 $z(1+\mathrm{i})=1-3 \mathrm{i}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的模长为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
二、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
复数 $z$ 满足 $z^{2023}-z-1=0$ ，求证: $|z| \leq 1$ 当且仅当 $\Re(z) \leq-\frac{1}{2}$.