一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\tan ^2 x\right)-x^2}{x^4}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1/2
$\text{C.}$ 1/6
$\text{D.}$ 1/4
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt[4]{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}-x)$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^4}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{4}{3}}}$
$f(x)=x^{\sin x}+(\cos x)^x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}, \quad|x| < 1$
$f(x)=x \arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)$
$f(x)=x+2 x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$
假设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，满足 $f(0)=f(1)$ 。证明对任意正整数 $n$ ，存在 $x \in\left[0, \frac{n-1}{n}\right]$ 使得 $f(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ 。
假设 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) ， f(0) f^{\prime}(0) \geq 0$ 并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ 。证明存在 $0 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n < \cdots$, 使得 $f^{(n)}\left(x_n\right)=0$ 。
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
证明实轴 $\mathbb{R}$ 不能分解为可数个长度大于零的不交闭区间的并。
假设定义在区间 $(a, b)$ 上的函数 $f$ 的左右导数处处存在，证明 $f$ 至多在可数个点处不可导。
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。