一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a, b)$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内的图像如图所示, 则函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有极小值点
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int f(2 x+3) d x=$
$\text{A.}$ $F(2 x+3)$
$\text{B.}$ $2 F(2 x+3)+\mathrm{C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)+C$
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分条件
$\text{D.}$ 非必要非充分条件
下列反常积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{x d x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
若 $f(x)$ 可导, $y=f\left(e^x\right)$, 则 $d y=$
函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
曲线 $y=x^2-1$ 在其顶点处的曲率 $K$ 是
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2 \sin x}{1+x^2}\right) d x=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=1+t^3\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
设 $f(x)$ 为多项式，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)-2 x^3}{x^2}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=3$, 求 $f(x)$
求函数 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 的图形的拐点和凹凸区间
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y+x} e^{-u^2} d u$ 所确定, 求 $y(0), y^{\prime}(0)$ 和 $y^{\prime \prime}(0)$
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^3$,求 $f^{\prime \prime}(0)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$
设 $f^{\prime}(\cos x)=\sin x, 0 < x < \pi$, 求 $f(x)$
计算不定积分 $\int \frac{x+1}{x^2-2 x+5} d x$
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
