一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设当${x\rightarrow0}$时，${e^{x}-\left(ax^{2}+bx+1\right)}$是比${x^2}$高阶的无穷小，则 .
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2},b=1$
$\text{B.}$ $a=1,b=1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2},b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1,b=1$
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0-k\Delta x})-f(x_{0})}{3\Delta x}=f^{\prime}(x_{0})$，则$k=\_\_\_\_\_$.
曲线$y=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$的拐点坐标为$\_\_\_\_\_$.
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
设函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处可导， $f(2)=f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$ ，求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \dfrac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}
$$
求曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+2 x}$ 的所有渐近线方程.
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\mathrm{d} y$ 和 $y^{\prime \prime}(x)$.
已知 $y=1+x e^{x y}$, 求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}$ 及 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}$.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 及 $\frac{d^2 y}{d x^2}$.
设函数 $y=\frac{3 x+2}{2 x^2+x-3}$ ，求 $y^{(n)}(0)$.
一长为 $L$ 米的木梯斜靠在倾角为 $\frac{\pi}{3}$ 的光滑斜坡上，A点位于斜坡底部，木梯的顶部距 离 $A$ 点 $h$ 米，底部距离 $A$ 点 $d$ 米，受重力作用木梯的顶部以 $a \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿斜坡下滑，底部水平向右运动. 问: 当木梯的顶部和 底部与 $A$ 点的距离相等时，底部移动的水平速度为多少?
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x), x \leq 0, \\ a x^2+b x+c, \quad x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $a, b, c$ 的值使得 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处存在.
已知等式 $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+a^2 y=0$ ，对其作变量代 换 $x=\sin t$ ，计算所得 $y$ 关于 $t$ 的导数的等式.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且求极限值 $A$.
证明导函数的介值性: 若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导且 $f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b) < 0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设 $a_n>0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$ 收敛，数列 $\left\{y_n\right\}: y_1=1,2 y_{n+1}=y_n+\sqrt{y_n^2+a_n}(n=1,2, \cdots)$. 证明: $\left\{y_n\right\}$ 是单调增加的且收敛的数列.
计算极限$\lim_{x\to0}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{{1-\sqrt{1-x^{2}}}}}$
设$y=y\left(x\right)$由方程$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=e^{\arctan\frac{y}{x}}$确定，求$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
求函数$f\left(x\right)=\left(1+x\right)^{\frac{x}{\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}}$在区间$(0,2{\pi})$内的间断点,并判断其类型.
用定义证明$\lim_{n\to\infty}\left[1+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}\right]=1.$
设$a_{n}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\left(n=1,2,\cdots\right),$证明数列$\{a_{n}\}$收敛.
设$a>1$, ${f(t)=a^t-at}$在${(-\infty,+\infty)}$内的驻点为${t(a)},$问$a$为何值时$,$ ${t(a)}$最小，并求出最小值.
曲线$y=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$的拐点坐标为$\_\_\_\_\_$.
设函数${y=y(x)}$由${\left.\left\{\begin{matrix}x=\ln\left(1+t^{2}\right)+1,\\y=2\arctan t-\left(t+1\right)^{2}\end{matrix}\right.\right.}$确定$,$求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}.$
设$f(x)$满足$f(0)=0,$且$f^\prime(0)$存在$,$求$\lim_{x\to0}\frac{f\left(1-\sqrt{\cos x}\right)}{\ln\left(1-x\sin x\right)}.$
设${\delta>0}$,$f(x)$在$\left[-\delta,\delta\right]$上有定义$,$$f(0)=1,$且满足
$${\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1-2x\right)+2xf\left(x\right)}{x^{2}}=0,}$$
证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^\prime(0).$