己知函数 $f(x)=\ln (1+x)+\frac{a}{1+x}(a \in \mathrm{R})$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性：
（2）对 $\forall x \in(-1,+\infty)$ ，都有 $f(x) \geq 1$ ，求实数 $\pi$ ；
（3）设数列 $\left[a_n\right]$ 的通项公式为 $a_n=\frac{1}{n}, S_n$ 为数列 $\left[a_n\right]$ 的前 $n$ 项的和，证明：$\ln (n+1)+\frac{7}{16}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) < S_n \leq 1+\ln n \quad\left(n \in \mathrm{~N}^{\prime}\right)$.