己知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的离心率等于 2 ，点 $P(2,3)$ 在双曲线 $E$ 上．
（1）求双曲线 $E$ 的标准方程：
（2）直线 $x-m y-\frac{1}{2}=0 \quad(m>0)$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，与双曲线 $E$ 的右支交于 $M 、 N$ 两点 $(M$在 $Q 、 N$ 之间），$F$ 是双曲线 $E$ 的右焦点，过 $M$ 作 $P F$ 的垂线，垂足为 $H$ ．
（i）若 $M$ 是 $Q N$ 中点，求 $m$ 的值：
（ii）证明：直线 $H N$ 经过定点．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$