已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
（2）设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$