设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 满足 $a_1>0,4 \leqslant b_n \leqslant 5,4 \leqslant c_n \leqslant 5$ ．

$$
a_n=\frac{\sqrt{b_n^2+c_n^2}}{b_n+c_n} a_{n-1} .
$$

证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=0$ 。