已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$ ，满足 $a_{n+1}=2 a_n+2 n-1\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2 n+1\right\}$ 是等比数列；
（2）若不等式 $\lambda \cdot 2^n+S_n+4>0$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$