已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，当 $n \geq 2$ 时，$S_n\left(S_n-a_n+1\right)=S_{n-1}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_1=\frac{1}{2}$ ，数列 $\left\{\frac{2^n}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $m T_n \leqslant\left(n^2+16\right) \cdot 2^{n+1}$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最大值．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$