设 $a, b, c$ 为三个给定的实数，令 $a_0=a, b_0=b, c_0=c$ ，并归纳定义
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_n=\frac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2}, \\
b_n=\frac{c_{n-1}+a_{n-1}}{2}, \quad n=1,2, \cdots \\
c_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},
\end{array}\right.
$$
证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} c_n=\frac{a+b+c}{3}$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$