已知对任意平面向量 $\overrightarrow{A B}=(x, y)$ ，把 $\overrightarrow{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $A P= (x \cos \theta-y \sin \theta, x \sin \theta+y \cos \theta)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$ 。已知平面内点 $A(1,2)$ ，点 $B(1+\sqrt{3}, 4)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{3}$ 后得到点 $P$ ，则点 $P$的坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{2} \sqrt{3}+1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{3}{2} \sqrt{3}+1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2} \sqrt{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$