记 $\mathbb{P}_2[x]$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上所有次数不超过二次的多项式全体按多项式加法、数乘所构成的线性空间。对任意的多项式 $p(x), q(x) \in \mathbb{P}_2[x]$ ，定义

$$
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^1 p(x) q(x) x^2 \mathrm{~d} x
$$

（i）证明：$\langle p, q\rangle$ 是线性空间 $\mathbb{P}_2[x]$ 上的一个内积；
（ii）求内积 $\langle p, q\rangle$ 在基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 下的度量矩阵 $G$ ；
（iii）利用 Schmidt 正交化 ${ }^{+}$将基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 改造为关于该内积的一组标准正交基。