在 $\mathbb{R}^3$ 中定义变换

$$
\mathcal{A}\left(\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\top}\right)=\left(x_1+3 x_2-3 x_3, 3 x_1+x_2-3 x_3,-x_3\right)^{\top} .
$$

（i）证明： $\mathcal{A}$ 是线性变换；
（ii）求 $\mathcal{A}$ 在基 $e_1=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, e_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, e_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵表示；
（iii）是否存在 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵？若存在，求出这组基，否则给出不存在的理由。