已知函数 $y=f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上二阶可导，且有非零 $x_0 \in \mathbf{R}$ 使得 $f\left(\dot{x}_0\right)=0$ ．证明：
（1）存在 $\eta \in \mathbf{R}$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\eta)+f(\eta)=0$ ；
（2）若 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有界，则存在 $\xi \in \mathbf{R}$ ，使得 $\xi f^{\prime \prime}(\xi)+(2+\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=$ 0.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$