（24－25 高二下．福建福州．期末）＂英才计划＂最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023 年已经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动。
（1）若参加数学学科夏令营的 7 名中学生中恰有 3 人来自 $A$ 中学，从这 7 名中学生中选取 3 名中学生，求选取的中学生中来自 $A$ 中学的人数 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3 ，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 $p_1, p_2$ ．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
（i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取㭌的概率 $P$ ：
（ii）当 $p_1+p_2=\frac{4}{3}$ 时，求 $P$ 的最大值．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$