（24－25 高二下．湖南．期末）如图，在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，底面边长为 2 ，侧棱长为 $\sqrt{3}, D$ 是 $B C$的中点．


（1）证明：$A_1 B / /$ 平面 $A D C_1$ ；
（2）求直线 $A_1 B_1$ 与平面 $A D C_1$ 所成角的正弦值；
（3）在线段 $A_1 C_1$ 上是否存在一点 $E$ ，使得点 $B_1$ 到平面 $A D E$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ ？若存在，请求出 $\frac{A_1 E}{A_1 C_1}$ 的值；若不存在，请说明理由．