（24－25高二下•河南南阳•期末）已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 是椭圆上任意一点，过 $F_1$ 引 $\angle F_1 P F_2$ 的外角平分线的垂线，垂足为 $Q$ ，且 $Q$ 与短轴顶点的最短距离为 $\frac{c}{2}$ ，则椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$