［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图 1 是一片美丽的心形叶片，图 2 是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．


【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $y=a x^2+b x$ 图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$ ，求抛物线的解析式；

【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图 3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 $y=x+1$ 与坐标轴交于 $A, B$ 两点，抛物线与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，点 $C, C^{\prime}$ 是叶片上的一对对称点，$C C^{\prime}$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ．求叶片此处宽度 $C C^{\prime}$ 的值；

【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖 $P$ 的坐标为 $(4,4)$ ．在右侧上方轮廓线上任取一点 $M$ ，过 $M$ 作 $x$ 轴垂线交下方轮廓线于点 $N$ ，求 $M N$ 的最大值．