已知 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$（ $\omega>0, \varphi$ 为常数），若 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=-f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $\varphi$ 的值可以是
$\text{A.}$ $-\frac{5 \pi}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$