如图，$A, B$ 是 $\odot O$ 上的点，$A^{\prime}, B^{\prime}$ 是 $\odot O$ 外的点，$\triangle A O B$ 和 $\triangle A^{\prime} O B^{\prime}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ，点 $A, B$ 对应点是点 $A^{\prime}, B^{\prime}, O B^{\prime}$ 交 $\odot O$ 于点 $C$ ，若 $O C=2 B^{\prime} C, A B=2$ ，则 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的长为