定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足当 $n-1 < x \leqslant n$ 时，$f(x)=(x-n+1)(x-n)^n$ ，其中 $n \in N^*$ ，则下列说法中正确的有
$\text{A.}$ $f(x) f(x+1) \leqslant 0$
$\text{B.}$ 当 $t>0$ 时，若 $f(x)$ 在区间 $(t, 2 t)$ 内恰有两个零点，则 $t$ 的取值范围是 $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$
$\text{C.}$ 存在正实数 $a$ 和 $x_0$ ，使得 $x>x_0$ 时，有 $f(x) < \mathrm{e}^{-a x}$
$\text{D.}$ 当 $2 \leqslant t < 5$ 时，若 $f(x)$ 在区间（ $2 t-4, t+1$ ）内恰有两个极值点，则 $t$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{3}, \frac{25}{8}\right) \cup\left(\frac{19}{6}, \frac{18}{5}\right)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$