设 $X_1, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ，则服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的随机变量是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{B.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{C.}$ $\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{D.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$