已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 2 ，点 $\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若直线 $y=\sqrt{2} x+\sqrt{2}$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$T$ 为线段 $M N$ 的中点，$O$ 为坐标原点，求 $|O T|$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$