已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}{n^\alpha}=A \neq 0$ ．
（1）试确定 $\alpha$ 和 $A$ 的值．
（2）证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^{\alpha-1}}{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ 收敛，并求其和．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$