如图，在斜三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C, \angle A_1 A B=\angle A_1 A C$ ，$O$ 是 $B C$ 的中点．
（1）求证：平面 $B C C_1 B_1 \perp$ 平面 $A_1 A O$ ；
（2）若 $A_1 O \perp$ 底面 $A B C$ ，且直线 $A A_1$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $60^{\circ}, D$ 是棱 $B B_1$ 的中点，求平面 $A C_1 D$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．