已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x(2 x-1), x>0, \\ k(x+1), x < 0,\end{array} g(x)=f(x)+f(-x)\right.$ ，若 $y=g(x)$ 恰有 4 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{B.}$ $\left(4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(1,4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right)$
$\text{D.}$ $(1,+\infty)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$