设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 ; \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 讨论函数 $f(x)$ 的连续性，并求 $f(x)$ 的单调区间、极值点与极值、凸性区间、拐点和渐近线。