在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}+z \overrightarrow{A A_1}$ ，则
$\text{A.}$ 若 $x+y+z=1$ ，则 $A C_1 \perp B P$
$\text{B.}$ 若 $z=1, x+y=1$ ，且 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，则直线 $A P$ 与 $B D$ 所成角的最小角为 $\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ 若 $x+y+z=\frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 所在的平面截正方体所得的截面面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ 若 $x+y+z=2$ ，则直线 $C C_1$ 和直线 $D_1 P$ 所成角可能为 $\frac{\pi}{6}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$