试证明下列命题：
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $n a_n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）（Kronecker）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，$\left\{p_n\right\}$ 是递增正数列且 $p_n \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{p_n} \sum_{i=1}^n p_i a_i=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 p_1+a_2 p_2+\cdots+a_n p_n}{p_n}=0 .
$$


特别有（i）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n k a_k / n=0$ 。
（ii）若 $\left\{a_n\right\}$ 是递减趋于零的数列，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \sum_{k=1}^n b_k=0$ ．