试证明下列命题：
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$ ，则 $I=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|S_n\right|=0\left\{S_n=\sum_{k=1}^n a_k\right\}$ 。
（2）设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，且对 $k \in \mathbf{N}$ ，级数 $S_k=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n / k} a_n$ 收敛。若 $\lim _{k \rightarrow+\infty} S_k= l$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=l$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$