试证明下列命题：
（1）设 $a_1>1, a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^\alpha}(n=1,2, \cdots), 0 < \alpha < 1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）设 $a_n>0(n=1,2, \cdots)$ 。若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n / n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2+k^2}\right]$ 收敛。